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----  请教08年离散真题~关于对称群的那道~  (http://bbs.xml.org.cn/dispbbs.asp?boardid=67&rootid=&id=78516)

--  作者：dai0_0dai
--  发布时间：12/12/2009 11:24:00 PM

--  请教08年离散真题~关于对称群的那道~
8.  p是任意一个素数，Sp为对称群。证明：
     （1）Sp恰有(p-1)!个p阶元。
     （2）Sp中恰有(p-2)!个p阶子群。
第一题我可以证出，但请问第二题该怎么做？
感谢~
--  作者：datalentbing
--  发布时间：12/13/2009 8:16:00 PM

--  
Sp群中若有p阶元，设为a,a可以表示成若干不相交的轮换的积，a=o1o2o3o4......且Oi不相交。a的阶等于Oi的最小公倍数，为p，p是素数，所以Oi的阶为1或p.
a是p阶轮换。
Sp中有P!/p=(p-1)!个轮换.

p阶循环子群的生成元是p阶元，有(p-1)!个，每个循环子群有p-1个生成元，有(p-1)!/(p-1)个循环子群。

--  作者：dai0_0dai
--  发布时间：12/13/2009 9:24:00 PM

--  
感谢楼上的哈~
我在进行反推的时候觉得过程就应该是这样。

但当时我很不太明白，为什么（2）题中每个循环群里有p-1个P阶生成元呢？
刚刚想到，<a>中任一元素的阶一定是P的因子，而P为素数，且不能为1，所以<a>中除了e之外都是P阶的。我的思路对吗？

再次感谢你~嘿~

--  作者：lcswr1987
--  发布时间：12/13/2009 11:23:00 PM

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感觉就是这个意思吧。
--  作者：YZC_HNU
--  发布时间：12/14/2009 12:07:00 AM

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这个，一楼的答案一个地方看了半天没看懂，希望哪位高人指点一下
Sp群中若有p阶元，设为a,a可以表示成若干不相交的轮换的积，a=o1o2o3o4......且Oi不相交。a的阶等于Oi的最小公倍数，为p，p是素数，所以Oi的阶为1或p.
怎么就直接推出下面了？
Sp中有P!/p=(p-1)!个轮换.

再写下我的做法：
Sp群中若有p阶元，设以为a,a可表示成若干不相交的轮换的积，a=o1o2o3o4......且Oi不相交。a的阶等于Oi的最小公倍数，为p，p是素数，所以Oi的阶为1或p.若Oi的阶为1，则a=(1)与a为p阶元矛盾。所以Oi的值只能为p即a=（1 n1 n2 n3 ...... n(p-1)） n1n2n3...n(p-1)为p-1个不相同的数全排列总数为(p-1)!
所以有(p-1)!个p阶轮换轮换

--  作者：dai0_0dai
--  发布时间：12/15/2009 7:33:00 AM

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我感觉LS的答案是完整了一楼的（1）答案，一楼中省掉了步骤。

(p-1)*(p-2)...2*1=p!/p

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