证明：
1.
1）任意A中元素都可以表示成不想交轮换的积。
X=A1*A2...*An;
这样X的阶为A1,A2...An的最小公分母,其中Ai的阶在2到P之间。
2）若X的阶为P,且P已知为素数，则由1)中知，X不能分成两个或以上的轮换，若不然则P=LCM(A1，A2，。。。。An)<>P,矛盾！
3）由2）知X为长度为P的轮换，其个数等价于P个元素排成一圈，不同排列的个数。
我们固定其中一个，则其他P-1个的任意一个排列可构成一个不同的圈。从而其个数为(p-1)!

2.
1）易知P阶子群中的元素不可能有阶为P-1,P-2,P-3,..3,2的元素，从而只能有e和阶为P的元素
2）任取对称群中阶为P的元素，由其生成的子群阶为P,结合1），我们知，所求的子群只能是由阶为P的元素生成的循环群的个数。
3）由第一问的证明知，总数有(p-1)!个，考虑由P阶生成元C生成的循环子群，易证C^2,C^3...C^(P-1)都是P阶元，它们生成的循环群显然是同构的。因此，每(P-1)个P阶元生成一个
同构的P阶子群，从而异构的P的子群的数目为(p-1)!/(p-1)=(p-2)!
命题得证！

第二其实感觉很详细了，听你这么问，可能自己真的不善于答题，难怪分数出来跟我自己预期差很多.  :-（。当初第一问没很好的证出来。

"3）由2）知知X为长度为P的轮换，其个数等价于P个元素排成一圈，不同排列的个数。
我们固定其中一个，则其他P-1个的任意一个排列可构成一个不同的圈"
这样做能保证构造出来的轮换是一个p阶轮换吗？恐怕不行吧，除去那个固定位置的元素，其它位置上的元素若是任意排列肯定会造成一定数量的恒等变换的；所以我个人认为这种办法不行。 这一块也是题目所希望证明的地方。

另外，
“
2.
1）易知P阶子群中的元素不可能有阶为P-1,P-2,P-3,..3,2的元素，从而只能有e和阶为P的元素
”
这个结论我个人也认为是正确的，希望能看到证明过程，我个人还不能证明出来。

前面这个构造显然是可以的
其实我们不妨这样说：令S = { (1, i_2, i_3, ..., i_p) | 其中i_2, i_3,...,i_p为从2到p的某个排列}，那么对于2到p的每一种不同的排列，正好对应一个不同的p-轮换，不会有重复。（反设有重复，即，设f=(1, i_2, i_3, ..., i_p)，g = (1, j_2, j_3, ..., j_p)，其中i_2,...,i_p和j_2,...,j_p是两个不同的排列，但f和g是同一个置换。那么不妨设k为上述两个排列中第一个不同的位，即，i_2=j_2, i_3=j_3, ..., i_{k-1}=j_{k-2}, i_k ≠ j_k，则易见，原先在第i_{k-1}上的元素将被f映射到i_k上，而同样是这个元素，它将被g映射到j_k上，由于i_k ≠ j_k，所以f和g是不同的置换，矛盾）

后面一个结论是Lagrange定理的直接推论，即：n阶有限群的元素的阶必然整除n。

我先是考虑到置换了，就说可能会出现类似下面的情况：
1 2 3 4 5 ..i (i + 1)...j (j + 1)...(p - 2) (p -1) p
(                                                                )
1 3 4 5 6 ..i (i + 2)...j (j + 3)...(p - 1) (p - 2) p

我把“javacap”的意思理解成在上面的置换表示中，对下面一行的元素，固定一个，其它的作(p - 1)的全排列，那样肯定是会产生不足p阶的置换的；

不过“javacap”说的是轮换，这样就是另一个意思了，站在了一个非常合适的角度上解答了本题！

“任取对称群中阶为P的元素，由其生成的子群阶为P”，这个结论应该也是对的，觉得不能直接用吧；另外能给出这个结论的证明么？

以下是引用cpkug在2008-10-8 1:27:00的发言： “任取对称群中阶为P的元素，由其生成的子群阶为P”，这个结论应该也是对的，觉得不能直接用吧；另外能给出这个结论的证明么？

也是一时想不通才问的！

谢谢指点！