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----  今天发现的代数结构的一些小问题  (http://bbs.xml.org.cn/dispbbs.asp?boardid=67&rootid=&id=37190)

--  作者：zsmjlu
--  发布时间：8/25/2006 1:11:00 PM

--  今天发现的代数结构的一些小问题
1,272页的17.39(2)证明方法有的不理解,f:Q'---->Q 则f(1)=0,为啥1非的映射到0，这不太巧了
2，f(a^t)=f(a)^t除了在循环群里 ，其他群成立吗
3，代数常数<=>特异元素吗 ，教材上说可以将任何带数常数 k看成零元运算，可教材上的每个例子却是我觉得带数常数就是单位元，如：227业的 代数系统<N,+,0>
4,0同态的同态像是{0}吗 ，例17.42用到了e2,难道不是单纯的0


虽然我感觉不难，但却很不明白`````

--  作者：datoubaicai
--  发布时间：8/25/2006 6:43:00 PM

--  
1、1是Q‘中的单位元，0是Q中的单位元，群中隐含了一元运算（求逆）和零元运算（单位元），所以f(1)=0
2、f(a^t)=(f(a))^t对所有群都成立，这是同态的性质吧
3、代数常熟不等于特异元素，更不等于单位元，前面讨论过。
4、零同态的定义是f:G——G’，对任意的x，f(x)=e',e'为G‘中的单位元，不是单纯的0，在小书有给出定义，大书上没有。
--  作者：Logician
--  发布时间：8/25/2006 6:49:00 PM

--  
1. 因为0是<Q,+>中唯一的幂等元。即然f是同构，而1·1=1，所以必须有f(1)+f(1)=f(1)。在<Q,+>中，f(1)+f(1)=f(1)的解只能是f(1)=0。

2. 那要看这个f是什么了。如果是同态的话，是成立的。

3. 代数常数是可以随意指定的。但我们一般会把一些特异元素指定成代数常数。你要指定其它的元素为代数常数也是可以的（而且你也可以不把特异元素指定成代数常数）。这个问题之前讨论过。你可以查查前几天的帖子。

4. e2不就是“0”吗？“0”在这里表示该系统中的单位元，并不是说一定要是实数中的那个“0”。当涉及到两个代数系统时，为了说明到底是哪个系统中的单位元，就改用e1、e2，而不再用“0”了。

--  作者：Logician
--  发布时间：8/25/2006 6:53:00 PM

--  
以下是引用datoubaicai在2006-8-25 18:43:00的发言：
1、1是Q‘中的单位元，0是Q中的单位元，群中隐含了一元运算（求逆）和零元运算（单位元），所以f(1)=0

Nod. 不过这个不用“定义”成这样。
在教材272页，定义17.23后面的说明中证明了：若f:G_1->G_2是同态，则必有f(e_1)=e_2。

--  作者：zsmjlu
--  发布时间：8/25/2006 7:22:00 PM

--  
以下是引用datoubaicai在2006-8-25 18:43:00的发言：
1、1是Q‘中的单位元，0是Q中的单位元，群中隐含了一元运算（求逆）和零元运算（单位元），所以f(1)=0
2、f(a^t)=(f(a))^t对所有群都成立，这是同态的性质吧
3、代数常熟不等于特异元素，更不等于单位元，前面讨论过。
4、零同态的定义是f:G——G’，对任意的x，f(x)=e',e'为G‘中的单位元，不是单纯的0，在小书有给出定义，大书上没有。

2,我知道f(a^-1)=f(a)^-1,也感觉f(a^t)=(f(a))^t对所有群都成立,但书上有这个性质吗，
没看到`````````


其他的明白了

--  作者：zsmjlu
--  发布时间：8/25/2006 7:24:00 PM

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以下是引用Logician在2006-8-25 18:49:00的发言：
1. 因为0是<Q,+>中唯一的幂等元。即然f是同构，而1·1=1，所以必须有f(1)+f(1)=f(1)。在<Q,+>中，f(1)+f(1)=f(1)的解只能是f(1)=0。

2. 那要看这个f是什么了。如果是同态的话，是成立的。

3. 代数常数是可以随意指定的。但我们一般会把一些特异元素指定成代数常数。你要指定其它的元素为代数常数也是可以的（而且你也可以不把特异元素指定成代数常数）。这个问题之前讨论过。你可以查查前几天的帖子。

4. e2不就是“0”吗？“0”在这里表示该系统中的单位元，并不是说一定要是实数中的那个“0”。当涉及到两个代数系统时，为了说明到底是哪个系统中的单位元，就改用e1、e2，而不再用“0”了。



明白了，我还的继续努力啊，`````````````

--  作者：Logician
--  发布时间：8/25/2006 8:42:00 PM

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以下是引用zsmjlu在2006-8-25 19:22:00的发言：
2,我知道f(a^-1)=f(a)^-1,也感觉f(a^t)=(f(a))^t对所有群都成立,但书上有这个性质吗，
没看到`````````


书上好像没有。但很容易用归纳法证明。
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