楼主

求证 对任意正整数N，存在一个N的倍数，使得他仅有数字0和7组成。 求证 对任意正整数N，存在一个N的倍数，使得他仅有数字0和7组成。 例如： N=3，3X259=777 N=4，4X1925=7700 等    收藏   分享   顶(0)    关闭广告显示

	第2楼

考虑序列 {a_i} = 7, 77, 777, 7777, ...... 由鸽巢原理，必存在a_i和a_j模N同余（其中j>i），那么a_j - a_i即为所求。

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Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
have governed my life: the longing for love, the
search for knowledge, and unbearable pity for the
suffering of mankind.
                            - Bertrand Russell

	第3楼

吼吼logician果然聪明^_^

	第4楼

谢谢解答！ 但是 如果 是 有 70700 这样形式的 是不是就比较麻烦了

	第5楼

为什么非要有70700这样形式的？ 首先，题目要求证明N的某个倍数只由7和0组成，如果我们能证明N的某个倍数必能写成77...700...0这样的形式，自然是比原题更强的结果，从而也解决了原题。 其次，我认为这道题就是一个关于鸽巢原理的题。如果要用传统的数论的知识，考虑“所有由0和7组成的数字”的性质，是非常难的。 最后，你的意思是说，把题目难度加强一下，比如要求找出“N的最小的只由0和7组成的倍数”，这样就不得不考虑“所有由0和7组成的数字”的性质了。但正如我前面所说，我觉得这是非常难的，我不知道是不是有什么前人研究出来的好用的方法……

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Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
have governed my life: the longing for love, the
search for knowledge, and unbearable pity for the
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                            - Bertrand Russell

	第6楼

谢谢解答，呵呵！ 主要总是缺少思路，没有想这些结果可以都是777000这样的形式。呵呵，单纯从字面理解我以为应该会有770077000这样的形式的。谢谢Logician的解答，Logician的离散学得不错啊，呵呵

	第7楼

题目是不是也可以改成 对任意正整数N，存在一个N的倍数，使得他仅有数字0和X（X属于｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,｝）组成。 这样可不可以成立？应该可以的吧！

	第8楼

是的

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Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
have governed my life: the longing for love, the
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                            - Bertrand Russell

	第9楼

以下是引用Logician在2007-11-9 17:05:00的发言： 考虑序列 {a_i} = 7, 77, 777, 7777, ...... 由鸽巢原理，必存在a_i和a_j模N同余（其中j>i），那么a_j - a_i即为所求。 怎么想出来地呵呵