eyounx (C跎S月::00永恒::置顶NJU):
标 题: [数理]辛拓扑的背景和几个主要问题（一）有时间还是多干活吧，把看的东西简要地在这里勒一勒，这样报告的时候思路顺一点。辛拓扑一、背景辛拓扑是一个有着广泛背景的方向。物理中的经典力学，几何中的最小测地线问题都可以对应到辛拓扑中。具体地说，经典力学系统可以用Hamilton方程描述，紧致黎曼面上的最小测地线也满足一个Hamilton方程。Hamilton方程都有这样的形式：dz/dt=-JDH(z,t)在某种变换下这个方程保持形式不变，这种变换称为辛变换。微分同胚Φ是一个辛变换是说，Φ的Jaccobi矩阵是辛矩阵，说矩阵A是辛矩阵即A_T * J *A=J 。辛变换都是保体积的，特别地，辛矩阵的行列式为1，这一点至少见过三种证明，一个是用外微分形式的语言，这种比较抽象，但是简洁；一个是stokes公式算体积，这种直观，也不太难算；一个是硬算，据说龙以明的一本书上有这种证法，比较繁琐。反之保体积映射不一定是辛映射，事实上即便线性情形，两个及两个以上自由度，是保体积映射而非辛映射的也非常之多---行列式为一而非辛的矩阵可以构造出来。也可以用辛形式定义辛映射，辛形式就是反对称的非退化二形式，Φ是辛映射就是说Φ^*是保辛形式的。从辛形式也可以直接定义辛向量场，这种定义好处是可以推广到一般流形上（当然，要能够定义辛结构的流形。注意：不是随便一个流形都可以定义辛结构的，而且有些流形上辛结构也没有唯一性）另一种定义辛映射的方法是用泊松括弧，{F,H}=-DF^T*J*DH，如果Φ保泊松括弧的话就是辛映射（{F,H}·Φ={F·Φ，H·Φ}），可以验证这个定义和前面两种定义是一致的。如果F与Hamilton函数的泊松括弧等于0，则称F为这个Hamilton函数对应Hamilton方程的首次积分，可以证明F沿着Hamilton方程的解取常值。泊松括弧还有一个重要性质就是满足Jaccobi恒等式，我们知道对向量场是可以定义李括号的（[X,Y]=DX*Y-DY*X），李括号也满足Jaccobi恒等式。其实这两个是相通的，因为[X_F,X_H]=X_{F,H}。注意：不同书上的定义可能相差一个符号。一个Hamilton方程，如果有n个independent且对合的首次积分则称其Liouville可积，这个时候系统的动力学行为比较简单。在动力系统里面有个重要的Liouville可积性定理，即是说，一个可积系统如果其水平集{z|F_j(z)=c_j}是紧连通的，则可同胚于T^n，这个时候局部地，相空间形成分层。（在每一层上系统的辛形式vanish，所以这些层是Lagrange子流形）。系统存在作用角变量（I,Φ），方程写成dI/dt= -H_Φ=0,dΦ/dt=H_I，从轨道保持在出发点所在轮胎面上。轮胎面上的轨道可能是周期的，也可能是拟周期的，这视初始值对应的频率w_0=H_I(I_0)而定，如果w_0是共振的则得周期解，非共振的则得拟周期解。对于一个近可积系统（可积系统加上一个小扰动），如果有一定非退化条件，则有KAM定理，即扰动后系统的一些非共振环面得以保存。 =============================== 标 题: [数理]辛拓扑的背景和几个主要问题（二）辛拓扑中的主要问题：一、Weinstein猜测：问题的引出：Hamiltonian是保守的，c是Hamilton函数的正则值，则等能量面H^-1(c)上面没有奇点，而且从这个能量面上出发的解都呆在这个面上。很自然的问题是这个面上有没有周期解。事实上这个问题跟Hamilton函数的选取是没有关系的。我们可以把Hamilton向量场换成类似的一个分布（L_z={v|w(v,T_zS)=0}），看这个分布是否产生的闭特征。可以举一些简单的例子比如弹簧振子或者弹簧振子组的方程，它们相应的等能量面上都是有闭轨的。但是一般的这个命题不成立。对于R^2n（n>=3）中的紧曲面，Herman和Ginzburg给出了反例。这个问题还可以对一类特殊的曲面提，这类曲面被称作切触曲面。Viterbo证明了欧式空间中的切触曲面上总是存在闭特征。Weinstein猜测是说对于一般的切触流形，是否存在闭特征呢？注意：切触流形并不是总可以嵌入R^2n中作为切触曲面的。切触流形维数为3的时候Hofer给出了证明。但对于更高维的情形，这个猜测现在还没有解决。二、刚性辛几何是一种有刚性的几何，一个半径为R的球不可能通过辛变换装入到一个半径小于R的桶中。注意：桶的底面是x_1^2+y_1^2<=r。这就是著名的不可挤压定理，辛拓扑的三大方法对此定理都有证明。正是由于这个定理，我们说“一只辛骆驼不能穿过针眼”说到这里可以解释一下辛拓扑这个方向存在的必要性了。为什么会问这个问题呢？因为如果一列辛映射的极限只是保体积映射而不是辛映射，那么这就意味着所有的辛不变量都是保体积映射不变量，多加个辛的性质上去，我们没有多得到任何新的不变量。那么也就无所谓辛拓扑了。从上面的不可挤压定理我们可以定义出一个辛不变量，它不为一般的保体积映射所保持。这样就说明了辛拓扑存在的意义。三、Arnold猜测辛流形上面辛向量场生成一个Hamilton流，它的时间1映射Φ就是这个流形到自身的辛同胚。当Hamilton函数的一阶偏导数小的时候，Φ的不动点等价于H的临界点，所以不动点数〉=CritM=min#{f的临界点|f是定义在M上的光滑函数}。这个时候用Ljusternik-Schnirelmann thoery就可以具体估计出个数。Arnold猜测上述下界估计对紧致辛流形上面的非自治Hamilton系统的时间一映射来说都对。这个猜测的退化情形已经解决，非退化情形没有什么思路。 ============================== 标 题: [数理]线性辛几何之辛向量空间（三）一个拓扑空间，其上如果定义了一个辛形式就成为辛空间。在所有定义了辛结构的空间中，无疑最简单的就是线性的辛空间(R^2n，w)。抽象一点，可以认为一个向量空间，上面赋予了一个辛形式。接下来这一章讨论的就是辛向量空间的性质，当然我们讨论的新映射也就暂限于线性辛映射。需要提请大家注意的是，线性辛空间的许多性质，在非线性的情况，也就是在一般的辛流形上都有相应的结论，这一点我们以后将会看到。一、子空间类比线性代数的理论框架，先来看看辛空间的子空间都有哪些性质。线性代数里，欧式空间上定义了内积，这是最根本的性质。内积实际上是一个二形式，而我们在辛空间上也有一个二形式，那就是辛形式。可以预料到它在辛空间中的作用与内积在欧式空间中的作用是类似的。在欧式空间中有了内积，就有了角度，也就有了正交和补空间的概念。类似的我们在辛空间中也可以利用辛形式来定义补空间：(V,w)是一个辛向量空间，W是它的一个子空间，则W的补空间定义为所有v st w(v,W)=0 组成的集合，不难验证这是一个子空间。有了辛空间中子空间的补空间的定义，就会发现一些与欧式空间不那么一样的地方，因为存在下列几种特殊的子空间：1迷向子空间：包含在自己的补空间里2余迷向子空间：包含自己的补空间3Lagrange子空间：以自身为补空间4辛子空间：与补空间的交只有零元素举个例子，在R^2上，随便一个直线，是Lagrange子空间。从定义上看，一个子空间是迷向的，当且仅当w在其上是vanished的。一个子空间是辛的，当且仅当w在其上非退化。（是否子空间都可划入以上四类？这个问题后面马上就可以回答） 显然对欧式空间，子空间与其补空间的关系都类似于第四种，另外，它们的维数之和等于全空间维数。辛向量空间的子空间虽然与其补空间关系较欧式空间复杂，所幸也有这种性质。这一点根本上是其非退化性保证的。用标准的辛向量空间很直观就可以看到W的辛补与欧补之间有一个同构-J。 由此顺带得出推论W的补空间的补空间是本身，以及W是辛的当且仅当其补是辛的。Lagrange子空间维数为全空间维数的一半。W迷向iffW的补余迷向。（n维子空间一定是Lagrange子空间么？） 欧式空间上有标准正交基，通过基的对应关系，都可以同构于标准的欧式空间，这样要讨论欧式空间，只要把标准的讨论清楚就行了。很自然想到辛空间有没有这种性质？实际上通过w的非退化性，在运用归纳法，很容易推出辛向量空间上都有标准辛基，再有这组辛基就可以得到把任意辛形式变成标准辛形式的线性同构（注意这个同构显然一般情况下不能是辛的）。 以后要讨论辛形式构成的空间中的道路，所以还比较关心一族辛形式是否也能相应的用一族线性同构，化成标准的。回答是肯定的。从而可知全体辛形式构成的空间单连通。 前面的结论之后，很多问题都容易说明了。比如w非退化时，w^n非退化，只要对标准辛向量空间证明即可，而对于标准辛向量空间w^n正是我们前面说过的体积形式，所以非退化性是显然的（此命题的反命题可以从定义直接验证） 从前面关于子空间及其补空间维数的结论易知迷向子空间维数一定小于等于n，自然要问维数等于n的迷向子空间是不是都是Lagrange的？这个很容易从前面的结论得出。又问是不是迷向子空间都可以包含于某个Lagrange空间？事实上，因为如果W不是Lagrange的，那么总可以找一个落在W的补空间而不在W中的向量，这个向量和W张成一个新的空间，不难验证这个空间是迷向的，所以你可以一直这样做，直到W成为Lagrange的。 回想线性代数里面还有一个重要结论，任何组现行无关的向量都可以扩充成为线性空间的一组基，特别的，一组两两正交的标准的向量都可以扩充成为一组标准正交基。类似的辛几何中也有：Lagrange子空间的一组基总可以扩充成整个向量空间的一组辛基。证明类似于前面关于维数的定理，利用向量空间与其对偶空间之间的同构性质。W是Lagrange子空间，可以验证JW也是一个Lagrange子空间，而l_w(v)=w(v,·)定义了JW到W^*=W的同构，由W的基拉回来得到JW的基，可以验证它们与W的基一起成为原空间的基。 =======================标 题: [数理]线性辛几何之线性辛约化（四）二、线性辛约化一个余迷向子空间W都可以认为是span{v^1_i,i=1 /to n ,v^2_j,j\in{1 \to n}}W模掉自身的补空间就去掉了共轭分量不在W中的那些分量，从而，得到的就是一个辛向量空间原空间的Lagrange子空间V总可以认为是span{v^i_j,j= 1 \to n, i =1 or 2}所以 （V交W）+W补 模掉 W补 {实际上就是在V中且在W中成对的基所张成的子空间}这显然是前面辛向量空间的Lagrange子空间这个过程就是辛约化注：随便的一个子空间，都可以作为某个辛子空间的上面四种之一的子空间。=========================作 者: wandonye 标 题: [数理]线性辛几何之Lagrange子空间及其道路的Maslov指标（六） 时 间: Wed Mar 9 23:56:07 2005 点 击: 75 前面说过，线性辛空间(V,w)中有一类特殊的子空间--Lagrange子空间。记(V,w)的全体Lagrange子空间的集合为L(V,w)。下面我们将说明可以给L(V,w)一个自然的表示（请原谅这个名词可能用的不太准确），从而赋予它一个自然的拓扑。然后我们将说明L是一个齐性空间（同构于U(n)/O(n)），又是一个流形，它的维数为n(n+1)/2。 一个Lagrange子空间∧一定是个n维的子空间，所以一定跟R^n同构，特别地，可以要求这个同构p是把R^n的标准正交基e_i映为∧的任意指定的一组基：p(e_i)=\sum_{1 \to n}a_i^j*u_i+\sum_{1 \to n}b_i^j*v_i 从而∧=Range Z where Z=(A) (B) 又∧是Lagrange的，故任给x,y \in R^2n 有w(Zx,Zy)=0，可知A^T*B=B^T*A 从推导过程可以看出这是个充要条件。不过注意并非唯一。特别的如果要求A=I的话，∧恰好是Z的图像，此时∧是Lagrange的当且仅当A对称。 这样，通过∧对应的矩阵，我们就给L上赋予了一个拓扑。 如果我一开始便要求∧的那组指定的基为标准正交的，从而Z的列向量标准正交，再用A^T*B=B^T*A的性质可以知道 (A -B) (B A) 是辛正交阵，从而A+iB是酉阵。 注意即便要求A+iB是酉阵，用来表示∧的矩阵也没有唯一性，而是相差一个正交阵。 事实上若Q正交，RangeZQ=RangeZ， 反之若RangeZ_1=RangeZ_2，ie \forall x \in R^2 there is an \tilde{x} \in R^2 st Z_1*x=Z_2* \tilde{x}。Denote the mapping x \to \tilde{x} by p, we can verify that p is an autoisomophism. So there is a matrix Q st p(x)=Qx. Then by the condition of A^T*B=B^T*A, we know Q is orthonormal. 晕，说着说着居然出鸟语了，接着用中文…… 刚才我们已经证明了L(V,w)=U(n)/O(n)，U(n)是一个拓扑群，O(n)是U(n)的闭子群，这就说明了L是个齐性空间。 下面来说明L是个n(n+1)/2维流形。因为L有齐性，所以只要在一点附近找到局部坐标架整个空间就全有了。考虑∧_{hor}={（x,y）|y=0}，可以证明它有一个开邻域同胚于全体对称矩阵构成的线性空间，这个空间可以看成是个n(n+1)维的欧式空间，从而L是个n(n+1)/2维的流形。 事实上，{∧|∧=Range(I), A对称}就是这个开邻域。显然它包含∧_{hor}， (A)且是个开集（(I)扰动之后还在其中） (A) f: ∧=Range(I) \to A 及其逆显然都是连续的。 (A) 这就证明了L是n维子空间。 另外，容易验证，随便一个∧，都可以写成D∧\{hor}左乘一个辛矩阵。一个Lagrange子空间∧的正交补∧^c也是Lagrange子空间。 另外L(V,w)还可以看成是两部分构成，一部分同胚于全体对称阵构成的仿射空间，另一部分则由全体与∧_{vert}={(x,y)|x=0}横截相交的Lagrange子空间组成，后者被称为Maslov Cycle。 下面定义L(V,w)中道路的Maslov指标，与Sp(2n)中道路类似，这里我们要定义的指标也满足四条公理：同伦性，乘积运算，直和运算，标准化条件 其中，乘积运算是指辛矩阵与Lagrange子空间的乘积运算：\mu(\psi*∧)=2*\mu(\psi)+\mu(∧) 标准化条件是指∧=e^{\pi*it}: R/Z \to L(1) 这条道路的Maslov指标为1 \mu的定义与Sp(2n)类似，前面说一个Lagrange子空间总可以用一个酉阵表示，从而一个子空间道路，就相应于一个酉阵道路，取平方（因为这里考虑的是无向面）再行列式运算，就变成了S中的一条道路，这条道路的转数就定义为原Lagrange子空间道路的Maslov指标。验证以上四条即可。 |
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