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发信人: honney(当个好爸爸), 信区: Mathematics. 本篇人气: 178 标 题: Arnold diffusion（终结篇） 发信站: 南京大学小百合站 (Wed Mar 16 08:49:23 2005) 动力系统理论根植于近现代自然科学，每一步理论上的进展都加深了人们对所处的世界的理解。同时，自然科学不断提出新的问题，源源不断的提供动力系统理论发展的动力. 在此，我们不去谈论一般的理论，仅讨论于物理学，力学关系最为紧密的Hamlton动力系统。 试从一个历史悠久的问题谈起：太阳系的稳定性问题。这个问题产生于天体力学创立之初。如果把牛顿的《原理》当作近代科学诞生的标志，那么该问题和近代科学一样悠久。牛顿称这个问题让他头疼，一直找不到答案。牛顿之后经过Lagrange，Laplace等人一系列努力，加深了对这个问题的理解，但未取得实质性的突破。直到19世纪末，Poincare的工作才揭开历史新的篇章。Poincare在3体问题的研究中，创造性的引入定性方法，开辟了一条全新的道路研究一般的微分方程。他的研究表明，典型的Hamilton系统不可积，存在大量运动极其复杂得轨道。如他所说，甚至不想把它画出来。这就是后来称之为“混沌”的复杂动力学现象。Poincare创造性的工作开创了现代动力系统理论，但并没有给出3体问题稳定性正面或负面的回答。他发现的复杂动力学现象发生在双曲周期轨道及其渐进流型附近，所有的周期轨道在相空间只占据一个零测集。所以并没有对大多数的轨道做出刻画。受Poincare的工作影响，之后，人们普遍认为典型的力学系统不稳定。物理学家Fermi甚至宣称他证明了Boltzmann假设，用现在的语言说，相空间上几乎所有的轨道在等能面上稠密！ 研究稳定性，我们总试图寻找象周期解和拟周期解这样的有界轨道。可积系统中拟周期解构成全测集，其运动永久稳定。但当人们试图采取经典的摄动方法在近可积系统中寻找拟周期解，会发现当频率共振或接近共振时级数发散，即便是远离共振，其线性化算子逆无界。这个问题被称为小分母问题，是寻找拟周期解最主要的困难。很多伟大的数学家，如Poincare,Werestrass等人在此止步。 在1954年的ICM的大会报告中，Kolmogorov以其深刻的洞察力，提出了全新的看法：近可积系统中，频率满足Diophantine条件的环面不会被摄动摧毁，其上的轨道做相应频率的拟周期运动。Kolmogorov不仅给出了命题，而且指出了证明方法：牛顿迭代法。这是一个地球人都知道，土的掉渣的方法。但在一个伟大的数学家手里却能化腐朽为神奇！ Kolmogorov没有给出严格证明，其后62，63年Moser,Arnold相继给出这可微情况（333阶）扭转映射，和解析情况下任意自由度近可积系统的证明。后来大家把这个定理称之为Kolmogorov-Arnold-Moser定理（或简称KAM定理）。KAM理论有着重大而深远的意义。首先，它用严格的数学理论阐述了动力学稳定性问题的一个重要方面：近可积系统存在大量的不变环面，其上运动为拟周期运动，因而在概率意义上，大部分轨道永久稳定。其次，在近可积情况下否定了Boltzmann遍历假设。正因为如此，KAM理论在物理、天文和力学等自然科学中产生的巨大影响在二十世纪的数学成就中是相当少见的。同时，作为一种数学方法，在Moser的推动下，KAM理论本身已成为受到许多一流数学家重视的一个研究领域。 Kolmogorov相信即便轨道不落在不变环面上，其作用量变量不会产生大的变化。也就是说，近可积系统是稳定的。但不久Arnold（1964年）就举出了一个例子，在他给出的一个系统中，共振区作用量可已发生任意幅度的变化。Arnold的例子过于特殊，不具备一般系统的典型特征，于是他猜测，典型的系统作用量都会发生较大的变化。这就是Arnold扩散问题的由来。不同时期Arnold有不同的提法，在他最早的文章中提法比较含混。后来在他的著作（和他人合作）《Mathematical aspects of classical and celestial mechanics》中比较明确：典型的系统是拓扑不稳定的，通过相空间任一点附近存在轨道，其作用量变量发生1的量级变化。在1998 Arnold发表的一篇文章中，结论加强为：任意两个不变环面附近存在连接轨道。为什么后来有人把这个问题称之为Arnold扩散？我看到过一种说法，其一，轨道变化极其复杂，类似随机的方式。其二，变化极其缓慢，根据Nekhoroshev定理，用数值方法很难探测到。因为速度极其缓慢，发生1的量级的变化需要极长的时间，无法说明算出来的轨道是真实发生还是由计算误差产生。 Arnold扩散一经提出就引起科学界高度重视，不仅数学家，很多物理学家，力学家也参与到这方面的研究。经常有这方面的文章出现于象Science,PRL这样的一流自然科学期刊。事实上在很长一段时期，研究这个问题的大多是物理学家和力学家。数学上的突破只是在90年代后发生。90年代初，一个重要的工作是由意大利数学家Chierchia和Gallavotti完成。他们证明了很大一类近可积系统存在Arnold扩散现象，并把其结论运用于具体的天体力学问题。这篇文章产生了很大影响，据说因此在意大利国内获得过两项科学奖，Gallavotti也因此被邀请在1998年ICM上做大会报告。但没过多久就发现证明有误。不管如何，这篇文章在沿着几何方法研究Arnold扩散现象做出了重要的尝试。他们的文章现在还被广泛的引用。 研究Arnold扩散的另一条途径发轫于80年代发展起来的Aubry-Mather理论，本质上属于变分方法。这套理论从数学上是对早年Morse关于紧曲面上闭测地线工作的推广和深化。对Birkhoff不稳定域中各种极小不变集做出了完整刻画。不仅如此，Mather推广了Birkhoff的一些工作，成功的构造出这些极小集之间的连接轨道。这套理论在低维情况的巨大成功，激发了人们无尽的想象。91年和93年Mather相继把Aubry-Mather理论中关于Twist map中极小不变集存在性和之间连接轨道的理论推广到高维Lagrange系统。Mather给出的是一个抽象的理论框架，应用于具体问题的关键是要对这些极小集的几何，拓扑结构作细致的刻画。由于高维系统缺乏twist map中一个关键的性质：Aubry crossing lemma.对一般系统极小集做完整的刻画几乎不可能。我们可以把系统限制在我们感兴趣的范围，如典型的系统（通有）。巴西数学家Mane生前关于通有的Lagrenge系统极小测度，提出了一系列的猜测。其中最主要的猜测是：通有的Lagrange系统，所有的旋转数对应的极小测度唯一遍历。Mane去世后，他的学生在这方面从事了大量研究。至今大部分猜测都被否定，包括他的最主要的猜测。在一般的系统中极小测度（及其他极小不变集）可能极其复杂，其拓扑结构很难刻画。也可能极其简单，所有的极小测度仅仅分布在有限个遍历分支及其线性组合上。这套理论现在还处于发展初期，还有很多重要理论问题需要澄清。理论归理论，问题归问题。并不是所有的理论问题我们都必须回答，不能解决问题的理论只是空头理论。在发展这套方法过程中需要我们去鉴别，判断哪些是必须解决的，那些是空洞无物的。 回到Arnold扩散上来，96年意大利数学家Bessi用变分重证了Arnold的原始命题。这是我们知道的用变分方法研究Arnold扩散的第一篇文章。虽然没有新的结论，但他揭示了一件很关键的事情，Arnold所得到的扩散轨道，从Lagrange观点看，是一条相对极小的轨道。这一点不管一些人愿不愿意承认，对后来采取变分方法研究Arnold扩散影响很大。至少我们这样认为。在我们有关这方面的文章预印本出来之后，一些同行对Bessi的工作做了比较客观的评价。一个重要问题的解决，需要大家群策群力，协同攻关。往往人们只看到踢进临门一脚的人，忽略了群队特别是助攻者的贡献。 1998年之后相继有至少4个研究团体，宣称在这个问题上取得突破，但争议很大。有些结果已经宣布了很长时间，证明还没有最终拿出来。时间会检验一切。但有一点是清楚的，典型的正定近可积系统在拓扑意义下是不稳定的。任何一点的任何一个领域里都会发生Arnold扩散现象。至于这些轨道是否定向（连接两个指定的两个区域），还不清楚。 用莫泽的一段话结束全文：“太阳系是稳定的吗？确切说，答案还不知道，但是由这个问题已经引出了许多深刻的结果，它们可能比对初始问题的解答更为重要。 |
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